첫번째 통계학 - 표본평균, 표본분산, 표본표준편차

표본평균, 표본분산, 표본표준편차

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간단하게 나마 통계학에 대한 포스팅을 시작하려 해요.
부족하겠지만 조금씩 보충해갈께요.

통계학의 정의와 분류

• 통계학 : 불확실하고 잘 알려져 있지 않은 사실과 대상에 대한 통계정보를 얻기 위해 이와 관련된 자료(data)를 수집하고, 그 자료를 요약 정리하여 해석하며, 의사결정을 위한 결론이나 일반성 등을 이끌어내는 데 필요한 이론과 방법을 과학적으로 제시하여 주는 학문.

• 기술통계학 : 자료를 정리하여 그림이나 표로 요약하거나 자료들의 수치값을 요약한 대표값이나 자료의 흩어진 형태(분포)와 변동의 크기 등을 구하는 분야.

• 추측통계학 : 통계적 모형과 구간을 설정하기도 하고 추측하기도 하며 어떤 기존의 사실에 대하여 가설을 세우고 이를 검정하고 예측하는 분야.

표본평균, 표본분산, 표본표준편차

1. 평균에는 모평균과 표본평균이 있고 산술평균, 기하평균, 조화평균등이 있지만 나머지는 논외로 하고 지금은 표본평균중 산술평균에 대해서 얘기하려 한다. 모평균에 관한 얘기는 포스팅이 계속 된다면 더 뒤에서 얘기하려 한다.

   1. 표본평균
      표본평균은 중심위치 측도 중에서 가장많이 사용되는 방법으로 관측값의 충합을 관측값의 개수로 나눈 것이다.
      $\bar{x} = {x_1 + x_2 + \cdots + x_n \over n} = {1 \over n}\sum_{i=1}^n x_i$
   2. 중위수
      평균은 모든 관측값이 반영되니깐 극단적으로 아주 크거나 작은 값에 영향을 많이 받아 때로는 잘못된 중심위치를 나타내기도 하는데 이때 사용할수 있는 것이 중위수이다.
      • 관측값의 갯수가 홀수라면, ${n+1 \over 1}$ 번째 관측값이다.
      • 관측값의 갯수가 짝수라면, ${n \over 2}$번째 관측값과 ${n \over 2} + 1$번째 관측값의 평균이다.

2. 표본평균을 중심으로 각각의 관측값들이 얼마나 흩어져 있는지를 파악하기 위해서는 두 값의 차이를 계산하면 되는데 즉, $n$개의 표본자료를 $x_1, x_2, \cdots , x_n$이라 하고, 이들의 표본평균을 $\bar{x}$라고 하면 $(x_i - \bar{x})$의 값이 각각의 관측값이 표본평균을 중심으로 흩어진 정도를 나타내는 측도가 된다. 이를 편차(deviation)라고 부른다. 그러나 이들 편차의 합은 언제나 0이 되므로, 제곱합을 구한 후에 관측값의 개수에서 1을 뺀 값으로 나누게 되면 단 하나의 수치로 전체 관측값들이 평균을 중심으로 얼마나 흩어져 있는가를 나타낼 수 있게 되는데 이런 값을 표본분산이라고 부르고 $s^2$으로 표기한다.

   • $n$개의 표본자료를 $x_1, x_2, \cdots , x_n$이라 하고, 이들 표본평균을 $\bar{x}$라고 하면 표본분산은 다음과 같다.
     $s^2 = {1 \over n-1}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2$

3. 표본분산의 단위는 언제나 관측값의 측정 단위의 제곱이 되므로, 계산된 수치만으로는 흩어짐의 정도에 대한 크기를 가늠하기가 쉽지 않다. 따라서 표본분산의 양의 제곱근을 통해 관측값의 단위와 일치시키게 되는데, 이를 표본표준편차라고 부르고 $s$로 표기한다.

   • $n$개의 표본자료 $x_1, x_2, \cdots , x_n$의 분산을 $s^2$이라 하면, 표본표준편차는 다음과 같다.
     $s = \sqrt{s^2}$

오늘은 정말 쉬운 개념부터 시작 해보았고, 과연 제가 이 주제의 포스팅을 이어 나갈수 있는지에 대해서 알아보기 위함 이였어요.
Mathjax문법도 좀 어렵고 이 주제의 포스팅의 순서는 어떻게 해야 하나 그런 생각도 들고 여러가지 생각이 드는 포스팅이네요.
혹여나 보시는 분이 계시고 앞으로 제가 계속 이어 나간다면 발전해나가는 주제가 되도록 노력해볼께요.
그리고 jupyter notebook에서의 포스팅이 좀 더 매끄러워 진다면 jupyter notebook을 이용해서 이해하기 쉽게 해보도록 할게요. 감사합니다.